7.3 Sketching Gradient Functions - 绘制梯度函数
知识点总结与练习题
核心知识点
1. 梯度函数的基本概念
核心概念 (Core Concept)：梯度函数 \(y = f'(x)\) 反映了原函数 \(y = f(x)\) 在各点的斜率。通过分析原函数的几何特征，可以推导出梯度函数的图像形状。
- 梯度函数的值等于原函数在该点的切线斜率
- 梯度函数的图像可以通过原函数的几何特征来推导
- 不需要计算具体的导数表达式，只需分析图像特征
2. 特征对应关系
对应关系 (Correspondence)：
- 极大值点：梯度函数与x轴相交
- 极小值点：梯度函数与x轴相交
- 拐点：梯度函数与x轴相切
- 正斜率区间：梯度函数在x轴上方
- 负斜率区间：梯度函数在x轴下方
- 垂直渐近线：梯度函数有垂直渐近线
- 水平渐近线：梯度函数以x轴为水平渐近线
3. 绘制步骤
绘制步骤 (Drawing Steps)：
- 分析原函数的极值点、拐点位置
- 确定原函数的增减区间
- 识别渐近线和特殊点
- 将特征映射到梯度函数图像上
- 连接各部分形成完整图像
注意：忽略原函数与x轴的交点，它们不会影响梯度函数的特征。
关键词汇表
例题解析
Example 5: 基本梯度函数绘制
题目（与图像一致）：下图显示了梯度函数 \( y = f'(x) \) 的图像。图像与 x 轴相交于 \(x=-1\) 和 \(x=1\)，且在 \(x<-1\) 与 \(x>1\) 时位于 x 轴上方，在 \(-1 由梯度函数图像读出信息： 据此判断原函数特征：
解答步骤
Example 6: 含渐近线的梯度函数
题目：下图显示了函数 \( y = f(x) \) 的图像。该曲线有水平渐近线 \( y = -2 \)，在点 (-3, -8) 处有拐点，在点 (-10, 0) 处与 x 轴相交。
- a) 在单独坐标系中绘制梯度函数 \( y = f'(x) \) 的图像，并标出与 x 轴的交点/相切点。
- b) 写出 \( y = f'(x) \) 的渐近线方程（提示：水平渐近线应为 \(y=0\)）。
- c) 指出 \(x=-3\) 处为何为相切点，并据此讨论 \(f(x)\) 在该点的性质（拐点）。
解答步骤
分析原函数特征：
- 渐近线：y = -2
- 拐点：(-3, -8)
- 与x轴交点：(-10,0) - 忽略
- 斜率分析：根据图像特征确定各区间斜率符号
梯度函数特征：
- 渐近线：y = 0（水平渐近线）
- 与x轴相切：x = -3
- 其他特征根据斜率符号确定
Exercise 7C - Question 1
为以下函数图像绘制对应的梯度函数图像，标出与x轴相交或相切的点，并给出渐近线方程。
答题区域：
Problem P2
函数：\( f(x) = (x + 1)(x - 4)^2 \)
a) 绘制函数 \( y = f(x) \) 的图像。
b) 在单独的坐标轴上绘制梯度函数 \( y = f'(x) \) 的图像。
c) 证明 \( f'(x) = (x - 4)(3x - 2) \)。
d) 用导数确定梯度函数与坐标轴相交的确切坐标。
答题区域：
答案与解析
Exercise 7C 解析
每个练习题都需要根据原函数的特征绘制梯度函数。关键是识别极值点（对应相交）、拐点（对应相切）、渐近线和斜率符号。
Problem P2 解析
c) \( f(x) = (x + 1)(x - 4)^2 = (x + 1)(x^2 - 8x + 16) = x^3 - 7x^2 + 8x + 16 \)
\( f'(x) = 3x^2 - 14x + 8 = (x - 4)(3x - 2) \)
d) 与x轴交点：\( x = \frac{2}{3} \) 和 \( x = 4 \)